f ( x ) = A 1 + e a − b x f(x)=\frac{A}{1+e^{a-bx}} f(x)=1+ea−bxA
对 ��æ,��æ f ( x ) f(x) f(x)求导的 d f d x = A b e a − b x ( e a − b x + 1 ) 2 = A b [ ( e a − b x ) 1 2 + ( e a − b x ) − 1 2 ] 2 \frac{df}{dx}=\frac{Abe^{a-bx}}{(e^{a-bx}+1)^2}=\frac{Ab}{[(e^{a-bx})^\frac{1}{2}+(e^{a-bx})^{-\frac{1}{2}}]^2} dxdf=(ea−bx+1)2Abea−bx=[(ea−bx)21+(ea−bx)−21]2Ab
由 ( e a − b x ) 1 2 ≥ 0 (e^{a-bx})^{\frac{1}{2}}\ge0 (ea−bx)21≥0和 ( e a − b x ) − 1 2 ≥ 0 (e^{a-bx})^{-\frac{1}{2}}\ge0 (ea−bx)−21≥0可以满足以下条件:
( e a − b x ) 1 / 2 + （ e a − b x ) − 1 / 2 ≥ ( e a − b x ) 1 / 2 × ( e a − b x ) − 1 / 2 = 2 (e^{a-bx})^{1/2}+（e^{a-bx})^{-1/2}\ge \sqrt{(e^{a-bx})^{1/2}\times(e^{a-bx})^{-1/2}}=2 (ea−bx)1/2+（ea−bx)−1/2≥(ea−bx)1/2×(ea−bx)−1/2 =2当 ( e a − b x ) 1 / 2 = ( e a − b x ) − 1 / 2 (e^{a-bx})^{1/2}=(e^{a-bx})^{-1/2} (ea−bx)1/2=(ea−bx)−1/2时取得 " = " "=" "="
所以 ( e a − b x ) 1 / 2 + ( e a − b x ) − 1 / 2 (e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2} (ea−bx)1/2+(ea−bx)−1/2最小值为 2 2 2
f ′ ( x ) = A b [ ( e a − b x ) 1 / 2 + ( e a − b x ) − 1 / 2 ] ≤ A b 4 f'(x)=\frac{Ab}{[(e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}]}\leq{ \frac{Ab}{4}} f′(x)=[(ea−bx)1/2+(ea−bx)−1/2]Ab≤4Ab
关于点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)中心对称函数满足性质 f ( x 0 + x ) + f ( x 0 − x ) = 2 y 0 f(x_0+x)+f(x_0-x)=2y_0 f(x0+x)+f(x0−x)=2y0
假设 s s s型函数的中心对称，且关于点 ( a b , A 2 ) (\frac{a}{b},\frac{A}{2}) (ba,2A)中心对称则满足
f ( a b + x ) + f ( a b − x ) = A 1 + e − b x = A … … （ 1 ） f(\frac{a}{b}+x)+f(\frac{a}{b}-x)=\frac{A}{1+e^{-bx}}=A……（1） f(ba+x)+f(ba−x)=1+e−bxA=A……（1）
易得
f ( a b + x ) + A 1 + e a − b ( a b + x ) = A 1 + e − b x = A e b x 1 + e b x … … ( 2 ) f(\frac{a}{b}+x)+\frac{A}{1+e^{a-b(\frac{a}{b}+x)}}=\frac{A}{1+e^{-bx}}=\frac{Ae^{bx}}{1+e^{bx}}……(2) f(ba+x)+1+ea−b(ba+x)A=1+e−bxA=1+ebxAebx……(2)
f ( a b − x ) + A 1 + e a − b ( a b − x ) = A 1 + e b x … … （ 3 ） f(\frac{a}{b}-x)+\frac{A}{1+e^{a-b(\frac{a}{b}-x)}}=\frac{A}{1+e^{bx}}……（3） f(ba−x)+1+ea−b(ba−x)A=1+ebxA……（3）
由（2）和（3）式子的（1）式成立
既：s型函数关于点 ( a b , A 2 ) (\frac{a}{b},\frac{A}{2}) (ba,2A)对称
当多组 f ( x ) = A 1 + e a − b x f(x)=\frac{A}{1+e^{a-bx}} f(x)=1+ea−bxA函数中参数A,a相同参数b不同则函数同过点 ( 0 , A 1 + e a ) (0,\frac{A}{1+e^a}) (0,1+eaA)